標本はいくつ集めたらよいか

兵庫教育大学　成田　滋

　

Updated December 25, 2001

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サンプルサイズ
いろいろな調査をする場合、どの位の標本数(サンプル数)を集めたらよいかが問題となる。標本とは、ある一定の集団から無作為に抽出したグループである。この標本が属する全体の集団を母集団という。こうした標本を対象とした調査を「標本調査」という。ちなみに、母集団全体の調査を「悉皆調査」、または「全数調査」という。母集団の数は通常「N」で表され、標本数は「n」で表される。標本として集出された数は、「サンプルサイズ」と呼ばれる。

標本を集め、それから得られたデータの平均値は、母集団の平均値μを推定する唯一の方法といえる。標本の平均値は、母集団のパラメータと同じということはないが、あまり差がないとされる。標本の平均値に基づいて、指定された誤差で、母集団の平均値が含まれる範囲を計算することができる。このような範囲は、「信頼区間」と呼ばれている。信頼区間を推定することを「区間推定」とも呼ぶ。区間推定では通常は、信頼係数を決めておくのが常套手段である。つまり信頼係数95%で母平均値μを推定するということになる。

信頼係数95%と設定したので、区間推定の誤差は5%である。誤差=標本平均値-母平均値となる。ここでの課題は、誤差を5%以内で押さえるために、どれくらいの大きさの標本が必要かということになる。このとき母平均値μの区間推定は、標準正規分布の数表Z(α/2)から求めることになる。

標本の大きさを決め方
標本調査において、母集団から標本の大きさを決めるための手順は次のようになる。
　1) 許容できる誤差の範囲を決める。通常は0.05とする。
　2) 信頼率を決める。通常は0.95とする。そして、信頼率に対応する正規分布の%点(k)を決める。0.95ならばZ=1.96となる。
　3) 母集団の比率Pを予測する。予測が困難なときはP=0.5とすると最も安全な標本の大きさが決められる。
　4) 計算する。
　　　必要な標本数　n
　　　母集団の大きさ　N
　　　最大誤差　e
　　　信頼率に対応する正規分布点　Z
　　　予想される母集団の比率　P

　　　
        (1) 有限母集団の場合：

                                                 N

                            n>=------------------------------------

                                      e      e     N-1

                                   (----)*(----) --------  + 1

                                      Z      Z    P(1-P)

                                       
        (2) 無限母集団の場合：

                                                       1

                                   n>= ---------------------------

                                         e       e     1

                                       (----)*(----) -------- 

                                         Z       Z    P(1-P)
例題br>
母集団が100人と1,000人の場合の標本数を、上記の式に入力して計算すると以下のようになる。すなわち、母集団が100人の場合は80人、母集団が1,000人の場合は278人となる。母集団の大きさが10倍になったからといって、標本数も比例するわけではないことがわかる。